Mange studerende, der studerer avanceret matematik i avancerede kurser, har sandsynligvis spekuleret over: hvor anvendes differentialligninger (DE) i praksis? Som regel diskuteres dette spørgsmål ikke på forelæsninger, og lærere går straks videre til løsningen af kontrolteorien uden at forklare de studerende brugen af differentialligninger i det virkelige liv. Vi vil forsøge at udfylde dette hul.
Vi starter med at definere en differentialligning. Så en differentialligning er en ligning, der relaterer værdien af en derivatfunktion til selve funktionen, værdierne for en uafhængig variabel og nogle tal (parametre).
Det mest almindelige område, hvor der anvendes forskellige ligninger, er den matematiske beskrivelse af naturfænomener. De bruges også til at løse problemer, hvor det er umuligt at etablere en direkte forbindelse mellem nogle værdier, der beskriver en proces. Sådanne opgaver opstår inden for biologi, fysik og økonomi.
I biologi:
Den første store matematiske model, der beskrev biologiske samfund, var Lotka-Volterra-modellen. Den beskriver en population af to interagerende arter. Den første af dem, kaldet rovdyr, dør i henhold til loven x '= –ax (a> 0) i fravær af det andet, og det andet, ofre, i mangel af rovdyr multipliseres ubegrænset i overensstemmelse med Malthus-loven. Interaktionen mellem disse to arter er modelleret som følger. Ofre dør ud med en hastighed, der er lig med antallet af møder med rovdyr og ofre, som i denne model antages at være proportional med antallet af begge populationer, dvs. lig med dxy (d> 0). Derfor y '= by - dxy. Rovdyr gengiver med en hastighed, der er proportional med antallet af spiste rov: x '= –ax + cxy (c> 0). Ligningssystem
x '= –ax + cxy, (1)
y '= af - dxy, (2)
beskriver en sådan befolkning, er et rovdyr et bytte og kaldes bakkerne - Volterra-systemet (eller modellen).
I fysik:
Newtons anden lov kan skrives i form af en differentialligning
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), hvor m er kroppens masse, er x dens koordinat, F (x, t) er den kraft, der virker på kroppen med koordinaten x på tidspunktet t. Hans løsning er banens bane under den angivne kraft.
